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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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5. Calcule los siguientes límites
c) lim⁡x→0sen⁡(5x)sen⁡3x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(5 x)}{\operatorname{sen} 3 x}

Respuesta

Utilizando el "límite especial" lim⁡z→0sin⁡(z)z=1 \lim_{z \to 0} \frac{\sin(z)}{z} = 1 , multiplicamos y dividimos por 5x5x y 3x3x de tal manera que podamos llegar a expresiones donde nos aparezca el bendito límite especial. lim⁡x→0(sin⁡(5x)1⋅5x5x⋅3x3x⋅1sin⁡(3x)) \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(5x)}{1} \cdot \frac{5x}{5x} \cdot \frac{3x}{3x} \cdot \frac{1}{\sin(3x)} \right) Reacomodamos las expresiones: lim⁡x→0(sin⁡(5x)5x⋅53⋅3xsin⁡(3x)) \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(5x)}{5x} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{3x}{\sin(3x)} \right) Ahora, aplicando el "límite especial": lim⁡x→0(sin⁡(5x)5x)=1 \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(5x)}{5x} \right) = 1 lim⁡x→0(3xsin⁡(3x))=1 \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{3x}{\sin(3x)} \right) = 1 Por lo tanto, el resultado del límite es: lim⁡x→0sin⁡(5x)sin⁡(3x)=53 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(5x)}{\sin(3x)} = \frac{5}{3}
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